无图题的分类讨论，你得先有图

八年级数学下册平行四边形章节中，绘制平行四边形是家常便饭，不加限制地绘制当然很容易，难的是绘制出符合题目条件的平行四边形。

几何题中分类讨论思想是重要数学思想之一，本章中一些无图题，则正好考验了学生的绘图能力。几何绘图，需要将文字描述转化成几何图形，简单讲就是审题。

题目

已知平行四边形ABCD中，AB=15，AC=13，AE为BC边上的高，且AE=12，则平行四边形ABCD的面积为_____________.

解析：这是一道典型的无图题，因此分析题目中的条件，绘制出规范的图形是解题的前提，也是关键，就本题而言，成功绘制出正确的图形，那么正确结果就在前方不远处了。

“平行四边形ABCD”，告诉我们四个顶点顺序依次为A、B、C、D，于是AB是它的一条边，而AC则是它的一条对角线，AE为BC边上的高，即过点A向对边BC作垂线段，垂足为E，请注意点A，边AB经过它，对角线AC同样经过它，BC边上的高也经过它，如何画出来呢？

AE作为“自带直角”的线段，和AB这条边，再加上BC边的一部分，正好可以围成一个直角三角形，并且它有两条边已知，第三条边一定可求，问题是哪条是斜边？

前面分析过点E是垂足，即△ABE中点E为直角顶点，则对边AB一定是斜边，所以Rt△ABE中，AB=15为斜边，AE=12为直角边，则剩下一条直角边可用勾股定理求得，BE=9.

一个直角三角形，三边分别是9，12，15，是不是很眼熟？对嘛！不就是勾股数3，4，5的三倍嘛！这个三角形太容易画了，因此先画它！

接下来画点C，它在哪？我们只有AC=13这个条件描述它，在Rt△ABE中，AC能“放”在哪里？显然AE是点A到直线BE最短的距离，而AC肯定比AE长，却又比斜边AB短，所以只好把它暂放在BE边上，如下图：

现在再来看平行四边形ABCD，已经画出了三个顶点，于是最后一个顶点就好画了，如下图：

图形一旦给出，剩下的问题就简单多了，在Rt△ACE中，求得CE=5，然后BC=BE-CE=4，而平行四边形的高AE=12，于是结果求得面积为48；

其实在刚才作点C的过程中，不妨眼界放开阔一些，点C一定要在边BE上，不能在其延长线上吗？如下图：

于是我们又可以得到一种新的图形，与前一种略有不同，如下图：

在这个图形中，同样可求得CE=5，不同的是这次BC=BE CE=14，因此面积为168.至此，两种情况分别讨论完毕。

解题反思

解完题之后回顾，发现只要能正确认识到Rt△ABE始终未变，而平行四边形的形状会发生改变，那么在绘图时，就自然会考虑先画不变的量，再画变化的量，否则平行四边形一个把握不好，画出的图不够规范，运气好一点接近，运气不好根本看不出来直角三角形，到头来害的是自己。

作图不能完全凭运气，传统绘图习惯会带来好处，但更多的是思维惯势，许多无图题便是利用这种惯势设置障碍，因此平时的学习中，规范作图的确非常重要。

直到熟练到一定程度，规范作图深入骨髓，那就可以不用再作图，因为在脑子里作图，比起纸上，更显高效。

那时无图胜有图。

雪浪纸

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