在复数域中，有个欧拉公式，是欧拉本人在研究虚数的时候发现的。

假定x是复数，则有下面的公式，即欧拉公式：

如果把π带入欧拉公式，则有：

看到这个式子虽然简单，但是却把欧拉数e, 圆周率π， 虚数i，计数的第一个数1，还有0, 外加乘法，加法、幂的运算组合在一起，是不是很神奇？

欧拉公式的证明在中学范围我还没有找到可行的方法，如果你学了微积分，这里给出一个证明。设复数z=cosθ isinθ, 将其在复变范围内积分：

因此证明了欧拉公式。

如果学习了级数，还有一种证明方法，即将sinx 与cosx 展开成级数有：

带入z=cosx isinx,

欧拉公式的几何解释为，单位圆在复平面的点的变化。即任何复数x可对应单位圆的一个转角ψ。

任何一个复数a bi (a,b是实数，i是虚数)都可以写成r, 这样带来复数运算的极大方便，即乘除运算，可进行幅角的加减，模的乘除。

欧拉公式能把实数领域的幂运算扩展到复数领域，读者自己可以证明：

由欧拉公式很容易推导出：

所以不难得出下面的公式：

在实数领域内cosx=2是不可能的，如果x是复数，利用上述式子有：

即对于任何整数k,

最后举一个用欧拉公式证明三角的和化积差的公式

因为：

所以有：

因此证明得出：

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