千年未解质数之谜或藏在准晶体结构中？但其实质或许是6N士1的素数公式。

最近，在普林斯顿大学的一项研究中，科学家发现隐藏在素数分布背后的规律。通过 X 射线研究准晶体材料内部原子排列模式，研究人员发现所得到的结果与数轴上的素数序列之间有着惊人的相似之处。这一结果或将极大提高素数预测的精度。

微软研究中心的首席研究员 Henry Cohn 虽没有参与这项研究，但他说：“这篇论文的有趣之处在于，它为我们提供了一个关于质数的不同视角：我们可以将它们视为粒子，还能尝试通过X射线衍射绘制出它们的结构。这项研究提供了一个优美的新视角，建立了材料科学与晶体散射理论的新联系。”

图 | 普林斯顿大学的研究人员发现质数与某些准晶体材料中的原子位置有相似的排列模式。（来源：Kyle McKernan, Office of Communications）

质数（Prime number），又称素数，指在大于 1 的自然数中，除了 1 和该数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有 1 与该数本身两个因数的数）。其中，大质数是许多密码系统的基本构造单元。虽然数学家已经研究了素数的一些顺序规律，但总的看来质数似乎是随机地分布在数轴上的。最小的几个素数是 2、3、5、7 和 11，随着数轴的延伸，较大的素数的分布则变得更加零散。

在最近发表于 Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment 的研究表明，质数并不像先前所想的那样毫无规律的随机分布。研究人员发现质数在数轴上的序列与 X 射线在材料衍射出的内部原子排列具有惊人的相似性。普林斯顿材料科学与技术研究所的 Salvatore Torquato 教授和他的同事发现，当考虑大范围时，质数比之前认为的更加有规律，这一模式即“超齐构体”模式。这项分析或将对数学和材料学领域的研究者提供帮助。

“质数的分布远比我们以前认为的要有规律的多”，普林斯顿大学自然科学教授 Lewis Bernard 和 Torquato 教授说，“我们发现质数的分布表现的就像晶体材料一样，更准确地说，是一种称为‘准晶体’的类似晶体的材料。”

Torquato 及其同事发现，当从数轴上很长一段来看时，质数的分布要比之前所认为的更有规律，属于所谓的“超齐构体”（hyperuniformity）模式。“超齐构体”材料（hyperuniform materials）具有特殊的长程有序性，包括晶体、准晶以及某些特殊无序系统。目前，科学家在鸟类眼睛中视锥细胞的排列中、某些罕见的陨石中以及宇宙大尺度结构中发现了这种“超齐构体”。

研究者表示，他们在质数中发现的排列模式，跟 X 射线与某些物质相互作用时所得到的模式是一致的。作为化学家的 Torquato 教授非常熟悉 X 射线晶体学，这是一门利用 X 射线来研究晶体中原子排列的学科。比如钻石或其他晶体，在与 X 射线相互作用的过程会产生可预测的亮点或峰值模式，称为“布拉格峰”（Bragg peaks）。

相比于典型的晶体材料，准晶材料的布拉格峰排布则更为复杂。典型晶体的布拉格峰会形成规律的有空隙间隔的排布，但在准晶中，任意两个布拉格峰之间，还可以找到一个新的布拉格峰。

Torquato 及其同事在质数中发现的模式类似于准晶体中原子的排布模式以及一个称为“有限周期序”（limit-periodic order）系统，但却稍有不同，所以研究者称其为“有效有限周期”（effectively limit-periodic）。素数出现在一些具有“自相似性”的数组中，也就是说在某些较高的数值“峰”之间，有许多组较小的“峰”。

图 | 将素数看作“原子”，红点表示非素数，黑点表示素数。研究者发现某些素数与某些类晶体结构中的原子排布有相似的模式。

研究者首先利用计算机模拟研究了将质数作为一串原子与 X 射线相互作用后会发生什么，然后才发现了这个明显的排列模式。在今年 2 月曾发表在《物理学杂志 A》上的研究中，研究报道了所发现的一个令人惊讶的类似于布拉格峰的图样，这表明素数的排列模式其实是高度有序的。

在近日的研究中，研究者利用数论方法为前期的模拟实验提供了有力的理论基础。研究者发现，尽管质数在数轴上较短的间隔里是随机出现的，但在数轴上足够长的范围里，从这些看似混乱的数字中也能找到一定的规律。

一点感慨

时至今日，素数定理已被证明，小于N的素数个数的上限和下限都已经给出，但π(N)的确切值是多少，依然是一个悬而未决的问题，一批又一批的数学家们前赴后继想登上最高峰，但都以失败告终，但这并不妨碍后面还有一批又一批的攀登者。所以千年的质数公式的探索不会简单，如果非常简单，会引起所有数学家反思的。

已知素数的相关成果还是当今密码学的基础。先行互联网的所有密码都和素数的规律有关系。素数公式的发现，将使这些密码变得毫无作用，可以预见不久的将来和密码账号有关的所有系统——比如银行账户、邮箱账号、游戏账号等——都将陷于极大的风险之中。

看一看下面一个有关素数在自然整数数轴上，1，2，3。。。。。。N。的一个排列现象，即：

2， 3， 4， 5， 6， 7。

8， 9， 10，1 1 12， 13 。

14 15，16，17，18， 19。

。。。。。。

就象这样子一直写下去，你就会发现这样一个规律：所有素数都排列在6的倍数的两边。这样就可以得出一个所谓求取素数的公式。即：6N士6。这个所谓的求取素数的公式，我曾在上世纪八九十年代的《我们爱科学》杂志上看到过。被称为求取素数的公式。

由这个求取素数的公式，由这个求取素数的公式，可以联想到到上文所说的科学家们所发现的什么体，对自然数数轴上对素数排序的启示有什么关系和局限性。

首先肯定的是：发现的这个所谓的体必须是六面体及六的倍数面体。如果是其他面数的题，诚然与自然数整数数轴上素数的排列规律毫无关联。

其次要说的是，如果一个小朋友推着一个铁环在数轴上滚上几圈是肯定整不出素数在数轴上的排列规律的，如果拿一个六边形的铁环在数轴上整几圈，倒能整出上面所说的素数的排列规律来，这里要着重说明的是，无论有面的体，还是多边的环，只要顶点相同，反应到数轴上的点一样多。这样说，用体说话，倒是白白的浪费了。

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