如果存在n个正数A,B,C,D,E……,那么就存在如下不等式
这就是著名的算术-几何不等式,又称作AG不等式,它在数学中非常重要,应用也很广泛,所以大家都应该很了解它
关于这个不等式的证明有很多,但最早给出严格证明的是大数学家柯西,柯西的证明至今仍被称作经典之作,下面就让我们来欣赏
首先N=2的情况,存在如下形式,一目了然
按照上述原理让我们依次让N=4,就会得到如形式
接着让N=8时的情况,
N=2^m时,就会得到如下非常巧妙的不等式
这里的N都是等比为2的几何级数:2,4,6,8,16,32………等等
在此假设如果n不是几何级数,最接近n的最小的数是2^m,且r=2^m-n,接着令
那么在n个正数A,B,C,D,E……和r个K的情况下,就会存在如下不等式,且等式右边等于K^2m
上述等式看上去比较困惑,但非常容易理解,数学技巧也非常巧妙
然后我们整理下这个不等式,就得到了著名的算术-几何不等式
例如:
上述的方法记载在柯西的名著《分析》一书中,证明技巧非常巧妙。
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