中位线

【方法说明】

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．

如图，△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则DE是△ABC的中位线，DE∥BC，DE＝1/2BC．

【方法归纳】

1．如图，△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．连接DE，则DE∥BC，DE＝1/2BC．

2．如图，四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，CD的中点．连接AC，设AC的中点O，连接EO，FO，则EO＝BC，FO＝AD，EO＝1/2BC，FO＝1/2AD．

【典型例题】

1．（11广州）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．

（1）证明：B、C、E三点共线；

（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN＝根号2OM；

（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1＝根号2OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．

【解题过程】

解：（1）∵AB是直径，∴∠BCA＝90°，

∵等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，

∴∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠BCA＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，

∴B、C、E三点共线；

（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图1，

∵CB＝CA，CD＝CE，∴Rt△BCD≌Rt△ACE，

∴BD＝AE，∠EBD＝∠CAE，

∴∠CAE＋∠ADF＝∠CBD＋∠BDC＝90°，即BF⊥AE，

又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点，

∴ON＝1/2BD，OM＝1/2AE，ON∥BD，AE∥OM；

∴ON＝OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，∴MN＝根号2OM；

（3）成立，理由如下：

如图2，连接BD1，AE1，ON1，

∵∠ACB－∠ACD1＝∠D1CE1－∠ACD1，

∴∠BCD1＝∠ACE1，

又∵CB＝CA，CD1＝CE1，

∴△BCD1≌△ACE1，

与（2）同理可证BD1⊥AE1，△ON1M1为等腰直角三角形，从而有M1N1＝根号2OM1．

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