前面我们已经了解了连分数的形式和规律,得到无理数的连分数可以不断的延伸到无穷远。
自然常数连分数有无穷多项
根号3连分数形式 有无穷多项
那三角函数的连分数式怎么表示呢?特别是正切函数的连分式是证明π是无理数的重要来源。
首先从前面的文章我们已经知道了三角函数泰勒级数形式
正弦泰勒级数
余弦泰勒级数
正切函数公式
正弦比上余弦,提取一个X
我们利用这种模式的等价关系
加上和减去同一个函数
交换函数的位置
合并得到
整理就得到第一个分式
提取X^2,消去分子分母上的公因式
又转换成:
同理加上和减去同一个函数
重新排列顺序
合并得到
整理就得到第二个连分式
继续重复上面的原理:
得到第三个分式
最终得到正切函数的连分式
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