说到数资，就一定绕不过“牛吃草”问题，这类题型比较经典，考察的时间比较久，在近几年考试中（如2019年联考）也考查到了该考点。

这么重点的题型，小粉笔当然有必要帮大家弄懂啦，所以今天就总结了一下“牛吃草”题型，快来跟着我一起看看吧。

什么是“牛吃草”

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“牛吃草”问题原型

有一片草原，草在不停生长，没有牛消耗草，经过一段时间之后草量变多；现在有一头牛吃草，吃草速度小于生长速度，经过一段时间，草量仍然增加；现有三头小牛吃草，吃草速度等于生长速度，经过一段时间，草量保持不变，因为吃的量与生长的量相同；三头小牛生了一群小牛，牛吃草的速度远大于草原生长速度，经过一段时间，草原被吃光。

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基本公式

y=（N-x）*t，即原有草量=（牛数-草生长速度）*时间。

（1）推导：原来的草用y表示，新生长的草用x表示，生长时间为t，假设每天生长速度不变（默认v=1），原来草量=（牛吃的草-生长的草）*时间，则y x*t=N*v*t，因v=1，则y x*t=N*t，y=（N-x）*t。

（2）隐含前提：默认每头牛吃草的效率（即速度）为“1”，所有“n”的真实含义是指“N头牛*吃草的速度”，吃草速度通常赋值为1。

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相同题型

牛吃草问题与追击问题相同。

如一个月赚10元，每个月花13元，现在有存款200元，问什么时候可以将200元花完？列式：200=（13-10）*t，t即所求，本题与“原来草量=（牛吃的草-生长的草）*时间”本质相同。

真题演练

例1

（2014河北）有一个水池，池底不断有泉水涌出，且每小时涌出的水量相同。现要把水池里的水抽干，若用5台抽水机40小时可以抽完，若用10台抽水机15小时可以抽完。现在用14台抽水机，多少小时可以把水抽完：

A.10小时

B.9小时

C.8小时

D.7小时

【解析】

题型特征：有两个排比句（用5台抽水机40小时可以抽完，若用10台抽水机15小时可以抽完），句式特征为抽水机抽水（即牛在消耗草），抽水机相当于牛，泉水涌出相当于草生长，本题为牛吃草问题。

方法一公式法：

y=（N-x）*t，x指的是草原生长的量，即泉水涌出的量，原来的水量y相等，代入公式：y=（5-x）*40=（10-x）*15，约分得：（5-x）*8=（10-x）*3，解得x=2，回代得y=120，问的是用14台抽水机抽水的时间，列式：120=（14-2）*t，解得t=10，对应A项。

方法二列表法：

（1）5台抽水机40小时可以抽完：牛数N=5，时间t=40，N*t=5*40=200；

（2）10台抽水机15小时可以抽完：牛数N=10，时间t=15，N*t=150；

（3）（200-150）/（40-15）=2，即x=2，则使用5台抽水机时N-x=3，使用10天抽水机时N-x=8，（N-x）*t=3*40=8*15=y=120，现在用14台抽水机，则牛数N=14，N-x=14-2=12，120/12=10，即t=10，对应A项。【选A】

【注意】

1、代入公式时要列横式。

2、有一定基础的同学可以用列表法解决该类问题，列表法用公式法都一样。

例2

（2019联考）某河道由于淤泥堆积影响到船只航行安全，现由工程队使用挖沙机进行清淤工作，清淤时上游河水又会带来新的泥沙。若使用1台挖沙机300天可完成清淤工作，使用2台挖沙机100天可完成清淤工作。为了尽快让河道恢复使用，上级部门要求工程队25天内完成河道的全部清淤工作，那么工程队至少要有多少台挖沙机同时工作？

A.4

B.5

C.6

D.7

【解析】

出现两个排比句，牛吃草问题。

方法一公式法：

y=（N-x）*t，本题x代表的是新增泥沙，y相同，因此列式时要列横式，代入公式：y=（1-x）*300=（2-x）*100，解得x=0.5，回代得y=（1-0.5）*300=150。问25天完成清淤工作要有多少台挖沙机，列式：150=（N-0.5）*25，解得N=6.5，至少要6.5台，说明6.5台不行，要7台，台数必须为整数，对应D项。

方法二列表法：

（1）使用1台挖沙机300天可完成清淤工作：牛数N=1，时间t=300，N*t=300；

（2）使用2台挖沙机100天可完成清淤工作：牛数N=2，时间t=100，N*t=200；

（3）（300-200）/（300-100）=0.5，即x=0.5，则使用1台挖沙机时N-x=0.5，使用2台挖沙机时N-x=1.5，0.5*300=1.5*300=150，即y=（N-x）*t=150，现在t=25，150/25=6，N-x=6，则N=6 0.5=6.5，对应D项。【选D】

【注意】

1、基本计算能力一定要有。

2、对于牛吃草问题，y指的都是原有的量。本题y指的是用挖砂机之前原来有的泥沙。

3、使用列表法时要注意减的时候方向一致，即大数-小数。

4、列表法与解方程相同，是不过是省略了解方程的过程。

例3

（2012山东）某篮球比赛14：00开始，13：30允许观众入场，但早有人来排队等候入场，假设从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多，如果开3个入场口，13：45时就不再有人排队；如果开4个入场口，13：40就没有人排队，那么第一个观众到达的时间是：

A.13：00

B.13：05

C.13：10

D.13：15

【解析】

本题为牛吃草的变型题，与之前的表述略有不同。根据两个“如果……”判定题型为牛吃草问题，题中入场口可看做“牛”，人可看做“草”。

公式：y=（N-x）*t，本题中x指的是增加的人数，即每分钟新来的观众。13：30允许入场，“如果开3个入场口，13：45就不再有人排队”，推出所需要的时间是15分钟；“如果开4个入场口，13：40就没有人排队”，所需要的时间是10分钟，所以将数据代入公式为y=（3-x）*15=（4-x）*10，解得x=1，y=30，30指的是原来的人，即开始入场之前已经来了的人，x=1表示每分钟新来1人，之前有了30人，说明需要30/1=30分钟，在13：30以前已经到了30人，所以第一个到达的观众应该往前推30分钟，即13：00，对应A项。【选A】

【注意】

1、判别：

（1）特征：“N（‘牛’数） T（时间）”形式的排比句

（2）常见的“牛吃草”：入场口“吃”人、水池排水、资源开采

2、方法：

（1）套公式：把N、T代入公式：y=（N-x）*T

（2）列表法

例4

(2014联考)药厂使用电动研磨器将一批晒干的中药磨成药粉。厂长决定从上午10点开始，增加若干台手动研磨器进行辅助作业。他估算如果增加2台，可在晚上8点完成，如果增加8台，可在下午6点完成。问如果希望在下午3点完成，需要增加多少台手工研磨器？

A.20

B.24

C.26

D.32

【解析】

方法一：

判定题型为牛吃草问题。本题中y指的是药原有的量，电动和手动的都消耗量，且电动为定值，手动可以是2台，也可以是8台，所以电动的为x，手动（牛）为N，此时发现N和x方向一致，都去消耗中药。“如果上午10点开始，手动增加2台，在晚上8点完成”，晚上8点=20点，则从10点到20点一共是10个小时；“如果增加8台，在下午6点完成”，下午6点=18点，从10点到18点用了8个小时。

将数据代入公式为y=（N x）*t=（2 x）*10=（8 x）*8，解得x=32-10=22，y=240。本题求的是“如果在下午3点完成，需要增加多少台手工研磨器”，手工研磨器用N表示，原来的量为240，从10点到下午3点（15点）一共用了5个小时，所以列式为240=（N 22）*5，解得N=26，对应C项。

方法二（列表法）：

如图，“增加2台，在晚上8点完成”，即2*10=20，“增加8台，在下午6点完成”，即8*8=64，方向一致相减，下面-上面得到：64-20=44，8-10=-2，则x=44/（-2）=-22，2-（-22）=24，8-（-22）=30，所以y=24*10=30*8=240，问下午三点，从上午十点到下午三点是5个小时，总数为240，所以一共需要240/5=48台，48=手工研磨器-（-22），那么手工研磨器=26，对应C项。【选C】

【注意】

1、什么时候是减法，什么时候是加法？

答：一个是减少的量，一个是增加的量，两个量方向相反，用y=（N-x）*t；如果一个是减少的量，另一个也是减少的量，方向一致，用y=（N x）*t。

2、牛吃草问题对于初学者来说，公式一定要会，先理解公式，如果有一些基础的话，用列表法也可以。

“牛吃草”问题总结

1、题型判定：

（1）特征：“N（‘牛’数） T（时间）”形式的排比句

（2）常见的“牛吃草”：入场口“吃”人、水池排水、资源开采等

2、解题方法：

（1）公式法：y=（N=x）*T；

（2）列表法。

3、常考题型：

（1）经典型

（2）可持续发展型：

①特征：永远“吃”不完

②解题关键：N最大为x

（3）拔高型：特征：N与x的方向一致，都消耗原有存量

各位小伙伴看明白了吗？掌握方法之后只要多做题多总结，慢慢强化技巧和方法，提高做题效率，“牛吃草”题型就会变得很简单啦。祝大家都能拿到一个好成绩，成功上岸~

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