说到数资,就一定绕不过“牛吃草”问题,这类题型比较经典,考察的时间比较久,在近几年考试中(如2019年联考)也考查到了该考点。
这么重点的题型,小粉笔当然有必要帮大家弄懂啦,所以今天就总结了一下“牛吃草”题型,快来跟着我一起看看吧。
什么是“牛吃草”
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“牛吃草”问题原型
有一片草原,草在不停生长,没有牛消耗草,经过一段时间之后草量变多;现在有一头牛吃草,吃草速度小于生长速度,经过一段时间,草量仍然增加;现有三头小牛吃草,吃草速度等于生长速度,经过一段时间,草量保持不变,因为吃的量与生长的量相同;三头小牛生了一群小牛,牛吃草的速度远大于草原生长速度,经过一段时间,草原被吃光。
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基本公式
y=(N-x)*t,即原有草量=(牛数-草生长速度)*时间。
(1)推导:原来的草用y表示,新生长的草用x表示,生长时间为t,假设每天生长速度不变(默认v=1),原来草量=(牛吃的草-生长的草)*时间,则y x*t=N*v*t,因v=1,则y x*t=N*t,y=(N-x)*t。
(2)隐含前提:默认每头牛吃草的效率(即速度)为“1”,所有“n”的真实含义是指“N头牛*吃草的速度”,吃草速度通常赋值为1。
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相同题型
牛吃草问题与追击问题相同。
如一个月赚10元,每个月花13元,现在有存款200元,问什么时候可以将200元花完?列式:200=(13-10)*t,t即所求,本题与“原来草量=(牛吃的草-生长的草)*时间”本质相同。
真题演练
例1
(2014河北)有一个水池,池底不断有泉水涌出,且每小时涌出的水量相同。现要把水池里的水抽干,若用5台抽水机40小时可以抽完,若用10台抽水机15小时可以抽完。现在用14台抽水机,多少小时可以把水抽完:
A.10小时
B.9小时
C.8小时
D.7小时
【解析】
题型特征:有两个排比句(用5台抽水机40小时可以抽完,若用10台抽水机15小时可以抽完),句式特征为抽水机抽水(即牛在消耗草),抽水机相当于牛,泉水涌出相当于草生长,本题为牛吃草问题。
方法一公式法:
y=(N-x)*t,x指的是草原生长的量,即泉水涌出的量,原来的水量y相等,代入公式:y=(5-x)*40=(10-x)*15,约分得:(5-x)*8=(10-x)*3,解得x=2,回代得y=120,问的是用14台抽水机抽水的时间,列式:120=(14-2)*t,解得t=10,对应A项。
方法二列表法:
(1)5台抽水机40小时可以抽完:牛数N=5,时间t=40,N*t=5*40=200;
(2)10台抽水机15小时可以抽完:牛数N=10,时间t=15,N*t=150;
(3)(200-150)/(40-15)=2,即x=2,则使用5台抽水机时N-x=3,使用10天抽水机时N-x=8,(N-x)*t=3*40=8*15=y=120,现在用14台抽水机,则牛数N=14,N-x=14-2=12,120/12=10,即t=10,对应A项。【选A】
【注意】
1、代入公式时要列横式。
2、有一定基础的同学可以用列表法解决该类问题,列表法用公式法都一样。
例2
(2019联考)某河道由于淤泥堆积影响到船只航行安全,现由工程队使用挖沙机进行清淤工作,清淤时上游河水又会带来新的泥沙。若使用1台挖沙机300天可完成清淤工作,使用2台挖沙机100天可完成清淤工作。为了尽快让河道恢复使用,上级部门要求工程队25天内完成河道的全部清淤工作,那么工程队至少要有多少台挖沙机同时工作?
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】
出现两个排比句,牛吃草问题。
方法一公式法:
y=(N-x)*t,本题x代表的是新增泥沙,y相同,因此列式时要列横式,代入公式:y=(1-x)*300=(2-x)*100,解得x=0.5,回代得y=(1-0.5)*300=150。问25天完成清淤工作要有多少台挖沙机,列式:150=(N-0.5)*25,解得N=6.5,至少要6.5台,说明6.5台不行,要7台,台数必须为整数,对应D项。
方法二列表法:
(1)使用1台挖沙机300天可完成清淤工作:牛数N=1,时间t=300,N*t=300;
(2)使用2台挖沙机100天可完成清淤工作:牛数N=2,时间t=100,N*t=200;
(3)(300-200)/(300-100)=0.5,即x=0.5,则使用1台挖沙机时N-x=0.5,使用2台挖沙机时N-x=1.5,0.5*300=1.5*300=150,即y=(N-x)*t=150,现在t=25,150/25=6,N-x=6,则N=6 0.5=6.5,对应D项。【选D】
【注意】
1、基本计算能力一定要有。
2、对于牛吃草问题,y指的都是原有的量。本题y指的是用挖砂机之前原来有的泥沙。
3、使用列表法时要注意减的时候方向一致,即大数-小数。
4、列表法与解方程相同,是不过是省略了解方程的过程。
例3
(2012山东)某篮球比赛14:00开始,13:30允许观众入场,但早有人来排队等候入场,假设从第一个观众来到时起,每分钟来的观众人数一样多,如果开3个入场口,13:45时就不再有人排队;如果开4个入场口,13:40就没有人排队,那么第一个观众到达的时间是:
A.13:00
B.13:05
C.13:10
D.13:15
【解析】
本题为牛吃草的变型题,与之前的表述略有不同。根据两个“如果……”判定题型为牛吃草问题,题中入场口可看做“牛”,人可看做“草”。
公式:y=(N-x)*t,本题中x指的是增加的人数,即每分钟新来的观众。13:30允许入场,“如果开3个入场口,13:45就不再有人排队”,推出所需要的时间是15分钟;“如果开4个入场口,13:40就没有人排队”,所需要的时间是10分钟,所以将数据代入公式为y=(3-x)*15=(4-x)*10,解得x=1,y=30,30指的是原来的人,即开始入场之前已经来了的人,x=1表示每分钟新来1人,之前有了30人,说明需要30/1=30分钟,在13:30以前已经到了30人,所以第一个到达的观众应该往前推30分钟,即13:00,对应A项。【选A】
【注意】
1、判别:
(1)特征:“N(‘牛’数) T(时间)”形式的排比句
(2)常见的“牛吃草”:入场口“吃”人、水池排水、资源开采
2、方法:
(1)套公式:把N、T代入公式:y=(N-x)*T
(2)列表法
例4
(2014联考)药厂使用电动研磨器将一批晒干的中药磨成药粉。厂长决定从上午10点开始,增加若干台手动研磨器进行辅助作业。他估算如果增加2台,可在晚上8点完成,如果增加8台,可在下午6点完成。问如果希望在下午3点完成,需要增加多少台手工研磨器?
A.20
B.24
C.26
D.32
【解析】
方法一:
判定题型为牛吃草问题。本题中y指的是药原有的量,电动和手动的都消耗量,且电动为定值,手动可以是2台,也可以是8台,所以电动的为x,手动(牛)为N,此时发现N和x方向一致,都去消耗中药。“如果上午10点开始,手动增加2台,在晚上8点完成”,晚上8点=20点,则从10点到20点一共是10个小时;“如果增加8台,在下午6点完成”,下午6点=18点,从10点到18点用了8个小时。
将数据代入公式为y=(N x)*t=(2 x)*10=(8 x)*8,解得x=32-10=22,y=240。本题求的是“如果在下午3点完成,需要增加多少台手工研磨器”,手工研磨器用N表示,原来的量为240,从10点到下午3点(15点)一共用了5个小时,所以列式为240=(N 22)*5,解得N=26,对应C项。
方法二(列表法):
如图,“增加2台,在晚上8点完成”,即2*10=20,“增加8台,在下午6点完成”,即8*8=64,方向一致相减,下面-上面得到:64-20=44,8-10=-2,则x=44/(-2)=-22,2-(-22)=24,8-(-22)=30,所以y=24*10=30*8=240,问下午三点,从上午十点到下午三点是5个小时,总数为240,所以一共需要240/5=48台,48=手工研磨器-(-22),那么手工研磨器=26,对应C项。【选C】
【注意】
1、什么时候是减法,什么时候是加法?
答:一个是减少的量,一个是增加的量,两个量方向相反,用y=(N-x)*t;如果一个是减少的量,另一个也是减少的量,方向一致,用y=(N x)*t。
2、牛吃草问题对于初学者来说,公式一定要会,先理解公式,如果有一些基础的话,用列表法也可以。
“牛吃草”问题总结
1、题型判定:
(1)特征:“N(‘牛’数) T(时间)”形式的排比句
(2)常见的“牛吃草”:入场口“吃”人、水池排水、资源开采等
2、解题方法:
(1)公式法:y=(N=x)*T;
(2)列表法。
3、常考题型:
(1)经典型
(2)可持续发展型:
①特征:永远“吃”不完
②解题关键:N最大为x
(3)拔高型:特征:N与x的方向一致,都消耗原有存量
各位小伙伴看明白了吗?掌握方法之后只要多做题多总结,慢慢强化技巧和方法,提高做题效率,“牛吃草”题型就会变得很简单啦。祝大家都能拿到一个好成绩,成功上岸~
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