解析分式根式复合函数y=√x(x 1/x)的主要性质

※.函数的定义域

∵√x有x≥0；对1/x有x≠0.

∴函数的定义域为：(0， ∞）。

※.函数的单调性

∵y=√x(x 1/x)=x^(3/2) x^(-1/2),对x求导得：

∴dy/dx

=(3/2)x^(1/2)-(1/2)x^(-3/2)

=(1/2)x^(-3/2)(3x^2-1).

令dy/dx=0,则x^2=1/3.又因为x>0,则x=√3/3.

当x∈(0,√3/3)时，dy/dx＜0,函数y为单调减函数；

当x∈[√3/3, ∞)时，dy/dx＞0,函数y为单调增函数。

※.函数的凸凹性

∵dy/dx=(1/2)x^(-3/2)(3x^2-1)，

∴d^2y/dx^2

=-3/4x^(-5/2)(3x^2-1) 3x*x^(-3/2)

=-3/4x^(-5/2)(3x^2-1) 3x^(-1/2)

=-3/4x^(-5/2)(3x^2-1-4x^2)

=3/4x^(-5/2)(x^2 1)>0,则：

函数y在定义域上为凹函数。

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