几天前看到一篇文章，介绍这个公式，感觉还是我自己写一次比较容易懂，不要《走近科学》遮遮掩掩的风格。

我们首先来考虑两个模为1的复数

cosα isinα, cosβ isinβ

我们将两数相乘得

(cosα isinα)(cosβ isinβ)

=(cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ) (cosα⋅sinβ cosβ⋅sinα)i

=cos(α β) isin(α β)

我们得到一个非常简洁的复数乘法规律

(cosα isinα)(cosβ isinβ)=cos(α β) isin(α β)

于是，我们可以得到

这就是复数的乘方，当然我们也可以得到

现在我们用二项式定理处理上式的左边

考虑到i的乘方性质

于是

分开即可得

两式相除得

当然，我一点也不希望朋友们去记这个公式，说实在，记不住也没必要。

非要记得话，可以这样记，将

奇数项丢分子，偶数项丢分母，再一正一负加起来即可。

我觉得推导过程中用到的“复数乘法 二项式定理”有趣的很，可以用于茶余饭后向学弟学妹吹嘘。

注意：别太难了，否则后果自负。

,